Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (t \cdot 5^{t})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t \cdot 5^{t}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

Étape 4.2

Multipliez $5^{t}$ par $1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $t$ et $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2.2

Associez $5^{t}$ et $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ et $\ln (5)$ .

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $5^{t}$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $\ln (5)$ par $1$ .

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Étape 5.2.6

Associez $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ et $5^{t}$ .

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $5^{t}$ .

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Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Étape 5.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{t} + \ln (5)$