Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{4 + x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{4 + x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $x = 2 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \tan (t)$ .

$\int \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.5

Réorganisez les termes.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4 \sec^{2} (t)$ comme ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.2

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Déplacez $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\sec^{2} (t)$ par $\sec (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Étape 5.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Étape 7

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sec (t)$ et $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Étape 9

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Étape 10

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 12.2

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (t)$ et $\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Étape 13

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Étape 14

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 14.3

Remettez dans l’ordre $\sec (t)$ et $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Étape 15

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Étape 16

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Étape 17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Étape 18

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Étape 19

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Étape 20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Étape 21

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Étape 22

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 23

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 24

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Étape 25

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 25.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 25.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Étape 26

En résolvant $\int \sec^{3} (t) d t$ , nous trouvons que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Étape 27

Multipliez $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ par $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Étape 28

Simplifiez

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 29

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 29.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 29.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 29.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 29.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 29.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Étape 30

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 31.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 31.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ est $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.6

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 31.1.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.9

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.10

Associez.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 31.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.6

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 31.1.12.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Étape 31.1.12.9

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Étape 31.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Étape 31.1.14

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Étape 31.2

Pour écrire $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Étape 31.3

Associez $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Étape 31.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 31.5

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Étape 31.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 31.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Étape 31.6.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Étape 31.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Étape 32

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

Étape 33

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$