Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (f (x)) = \frac{d}{d y} (e^{x y})$

Étape 2

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $f (x)$ est $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{f}{x}$

Étape 5.4

Soustrayez $x e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ par $y e^{x y}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ par $y e^{x y}$ .

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.2

Associez.

$x' = \frac{f \cdot 1}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.3

Multipliez $f$ par $1$ .

$x' = \frac{f}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.4

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x}{y}$

Étape 5.5.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$