Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{3}}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] - x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) - x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.10

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.11

Associez $e^{x}$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.12

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.13

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 2.1.2.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{x \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.13.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.14

Multipliez $\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}}$ par $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.15

Associez.

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.16

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.17

Annulez le facteur commun de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.1.2.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.18

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{1 + 2}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.21

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{3}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.22

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.22.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{3}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.22.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} - 3 x^{1} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2.23

Simplifiez

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + 0$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Additionnez $\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}}$ et $0$ .

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}}$

Étape 2.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 e^{x} x + e^{x}}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 3 e^{x} x + e^{x}$ .

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Étape 2.1.4.3.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 3 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- 3 x) + e^{x}}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.3.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{x} (- 3 x) + e^{x} \cdot 1}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.3.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- 3 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- 3 x + 1)}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.4

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (- 3 x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{e^{2 x} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.1.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{e^{2 x} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.1.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (- 3 x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (3 x) + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.7

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (3 x) - 1 (- 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (3 x - 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.9

Réécrivez $- (3 x - 1)$ comme $- 1 (3 x - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (3 x - 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.1.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{e^{- x} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{e^{- x} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x} (3 x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x} (3 x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 2.2.2

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Étape 2.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = 3 x - 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5

Différenciez.

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Étape 2.2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 \cdot e^{- x} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.7

Différenciez.

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Étape 2.2.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.7.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.7.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $(3 x - 1) e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - 1 \cdot ((3 x - 1) e^{- x})) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.7.3.3

Réécrivez $- 1 (3 x - 1)$ comme $- (3 x - 1)$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.11.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.13

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.14

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} e^{- x}}{3} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.15

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.16

Multipliez $\frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Étape 2.2.17

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 \cdot x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18

Simplifiez

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Étape 2.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (- (3 x) - - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x) e^{- x} - - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.18.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.18.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{2}{3}} (x e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.3

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.18.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 (x \cdot x^{\frac{2}{3}}) e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.2.18.5.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 (x^{1} x^{\frac{2}{3}}) e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{1 + \frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{3 + 2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.3.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} - 1 \cdot - 1 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + 1 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.7

Multipliez $x^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.18.5.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dans le numérateur.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.8.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.8.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 (x)) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.8.4

Annulez le facteur commun.

Étape 2.2.18.5.1.8.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{3}}} x - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.9

Associez $\frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.10

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.11

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.18.5.1.11.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} (x^{- \frac{1}{3}} x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.11.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x$ .

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Étape 2.2.18.5.1.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} (x^{- \frac{1}{3}} x^{1}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{- \frac{1}{3} + 1} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.11.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{- 1 + 3}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.11.5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.12

Multipliez $- \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.18.5.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + 1 \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.1.12.2

Multipliez $\frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.2

Additionnez $3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ et $x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ .

$- \frac{4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.3

Soustrayez $2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}}$ de $4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ .

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Étape 2.2.18.5.3.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$- \frac{4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.5.3.2

Soustrayez $2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ de $4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ .

$- \frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.6

Associez des termes.

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Étape 2.2.18.6.1

Multipliez $\frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ par $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- (\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.2.18.6.2

Associez.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}})}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.4

Annulez le facteur commun de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.2.18.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.2.18.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{6 x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{6 x^{\frac{2 + 1}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.8

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{6 x^{\frac{3}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.18.6.9.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 x^{\frac{3}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.9.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6 x^{1} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.10

Simplifiez

$- \frac{6 x e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.11

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{5 + 1}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.14

Additionnez $5$ et $1$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{6}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.15

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.2.18.6.15.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.18.6.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{2}{1}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.15.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.16

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.18.6.17

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.18.6.17.1

Déplacez $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 (x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 2.2.18.6.17.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 2.2.18.6.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Étape 2.2.18.6.17.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.18.7.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

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Étape 2.2.18.7.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $6 x e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (6 x) - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.7.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- 9 x^{2} e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2}) + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.7.1.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $2 e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.7.1.4

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2})$ .

$- \frac{e^{- x} (6 x - 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.7.1.5

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (6 x - 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ .

$- \frac{e^{- x} (6 x - 9 x^{2} + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{e^{- x} (- 9 x^{2} + 6 x + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2}) + 6 x + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.9

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x$ .

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2}) - (- 6 x) + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x) + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.11

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 2)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x - 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.13

Réécrivez $- (9 x^{2} - 6 x - 2)$ comme $- 1 (9 x^{2} - 6 x - 2)$ .

$- \frac{e^{- x} (- 1 (9 x^{2} - 6 x - 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2.18.16

Multipliez $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 3.3.2.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 3.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.3.3

Définissez $9 x^{2} - 6 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $9 x^{2} - 6 x - 2$ égal à $0$ .

$9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.3.2.2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = - 6$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.3.3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.3.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.3

Additionnez $36$ et $72$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.4

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.3.2.3.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

Étape 3.3.3.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.3.3.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.2.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.3.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.4.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.4.1.3

Additionnez $36$ et $72$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.4.1.4

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.3.2.4.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.4.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

Étape 3.3.3.2.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.3.3.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.2.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Étape 3.3.3.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.5.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.5.1.3

Additionnez $36$ et $72$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.5.1.4

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.3.2.5.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.5.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.3.3.2.5.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

Étape 3.3.3.2.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0.9106836$ dans $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0.9106836$ dans l’expression.

$f (0.9106836) = \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$

Étape 4.1.2

La réponse finale est $\frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0.9106836$ dans $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ est $(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$

Étape 4.3

Remplacez $- 0.24401693$ dans $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.24401693$ dans l’expression.

$f (- 0.24401693) = \frac{\sqrt[3]{- 0.24401693}}{e^{- 0.24401693}} + 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Placez $e^{- 0.24401693}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{- 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez $- 0.24401693$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 0.24401693$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Réécrivez.

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Étape 4.3.2.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Étape 4.3.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- 0.24401693) = - 1 \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Étape 4.3.2.1.4

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{0.24401693}$ comme $- \sqrt[3]{0.24401693}$ .

$f (- 0.24401693) = - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $- \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$ .

$- \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 0.24401693$ dans $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ est $(- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1), (- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 0.24401693) \cup (- 0.24401693, 0.9106836) \cup (0.9106836, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 0.24401693)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.34401693$ dans l’expression.

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (9 {(- 0.34401693)}^{2} - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.34401693$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (9 \cdot 0.11834765 - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $9$ par $0.11834765$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (1.06512886 - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 0.34401693$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (1.06512886 + 2.06410161 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.1.4

Additionnez $1.06512886$ et $2.06410161$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (3.12923048 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.1.5

Soustrayez $2$ de $3.12923048$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} \cdot 1.12923048}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 0.34401693$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{0.34401693} \cdot 1.12923048}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $e^{0.34401693}$ par $1.12923048$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 6.3

Sur $- 0.34401693$ , la dérivée seconde est $- 1.04788036$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 0.24401693)$

Diminue sur $(- \infty, - 0.24401693)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.24401693, 0.9106836)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.\overline{3}$ dans l’expression.

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{e^{- (0.\overline{3})} (9 {(0.\overline{3})}^{2} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2)}{9 {(0.\overline{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Placez $e^{- (0.\overline{3})}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{9 {(0.\overline{3})}^{2} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 {(0.\overline{3})}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{9 \cdot 0.\overline{1} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $9$ par $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{1 - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $- 6$ par $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{1 - 2 - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Étape 7.2.2.4

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 1 - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Étape 7.2.2.5

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Élevez $0.\overline{3}$ à la puissance $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{9 \cdot (0.16024995 e^{0.\overline{3}})}$

Étape 7.2.3.2

Associez les exposants.

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $9$ par $0.16024995$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{1.44224957 e^{0.\overline{3}}}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $1.44224957$ par $e^{0.\overline{3}}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{2.01282142}$

Étape 7.2.4

Divisez $- 3$ par $2.01282142$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 1.49044518$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $- 1.49044518$ .

$- 1.49044518$

Étape 7.3

Sur $0.\overline{3}$ , la dérivée seconde est $- 1.49044518$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 0.24401693, 0.9106836)$

Diminue sur $(- 0.24401693, 0.9106836)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0.9106836, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.0106836$ dans l’expression.

$f'' (1.0106836) = \frac{e^{- (1.0106836)} (9 {(1.0106836)}^{2} - 6 \cdot 1.0106836 - 2)}{9 {(1.0106836)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Placez $e^{- (1.0106836)}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9 {(1.0106836)}^{2} - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 {(1.0106836)}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $1.0106836$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9 \cdot 1.02148134 - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $9$ par $1.02148134$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9.19333209 - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Étape 8.2.2.3

Multipliez $- 6$ par $1.0106836$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9.19333209 - 6.06410161 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Étape 8.2.2.4

Soustrayez $6.06410161$ de $9.19333209$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{3.12923048 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Étape 8.2.2.5

Soustrayez $2$ de $3.12923048$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.3.1

Élevez $1.0106836$ à la puissance $\frac{5}{3}$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9 \cdot (1.01786933 e^{1.0106836})}$

Étape 8.2.3.2

Associez les exposants.

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Étape 8.2.3.2.1

Multipliez $9$ par $1.01786933$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9.16082405 e^{1.0106836}}$

Étape 8.2.3.2.2

Multipliez $9.16082405$ par $e^{1.0106836}$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{25.16916766}$

Étape 8.2.4

Divisez $1.12923048$ par $25.16916766$ .

$f'' (1.0106836) = 0.04486562$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $0.04486562$ .

$0.04486562$

Étape 8.3

Sur $1.0106836$ , la dérivée seconde est $0.04486562$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0.9106836, \infty)$ .

Augmente sur $(0.9106836, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, le point d’inflexion est $(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$ .

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$

Étape 10