Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\sin (2 x + 1)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\sin (2 x + 1)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $x^{\sin (2 x + 1)}$ comme $e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}]$

Étape 3.1.2

Développez $\ln (x^{\sin (2 x + 1)})$ en déplaçant $\sin (2 x + 1)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (2 x + 1)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Étape 3.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Étape 3.5

Associez $\sin (2 x + 1)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Étape 3.7

Différenciez.

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Étape 3.7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 3.7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 3.7.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 3.7.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + 0)))$

Étape 3.7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \cdot 2))$

Étape 3.7.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x + 1)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (2 \cdot \cos (2 x + 1)))$

Étape 3.8

Pour écrire $\ln (x) (2 \cos (2 x + 1))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \frac{\ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x})$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$

Étape 3.10

Associez $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ et $\frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x)}{x}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + 2 \ln (x) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Étape 3.11.1.1.2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Étape 3.11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Étape 3.11.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + x e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1)}{x}$

Étape 3.11.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Étape 3.11.3

Factorisez $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ à partir de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

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Étape 3.11.3.1

Factorisez $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ à partir de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Étape 3.11.3.2

Factorisez $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ à partir de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Étape 3.11.3.3

Factorisez $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ à partir de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$