Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{2 e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{2 x} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $4 e^{2 x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{2 x + 1}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$4 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$4 \frac{e^{0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Étape 4.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$