Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}}$ comme $e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{1 + x}{2 + x})}^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}})$ en déplaçant $\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 3

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0 - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$e^{\frac{0 - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - lim_{x \to \infty} 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 10

Évaluez la limite.

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot lim_{x \to \infty} \ln (\frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 10.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + x}{2 + x})}$

Étape 11

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Étape 12

Évaluez la limite.

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Étape 12.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + \frac{x}{x}})}$

Étape 12.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{2}{x} + 1})}$

Étape 12.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Étape 12.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Étape 13

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Étape 14

Évaluez la limite.

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 1})}$

Étape 14.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Étape 14.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 1})}$

Étape 15

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 1})}$

Étape 16

Évaluez la limite.

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Étape 16.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$e^{\frac{0 - \sqrt{0^{2}}}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$e^{\frac{0 - 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{\frac{0 + 0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1 \cdot 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{\frac{0}{0 - 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e^{\frac{0}{- 1} \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2.3

Divisez $0$ par $- 1$ .

$e^{0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}$

Étape 16.2.4

Simplifiez $0 \cdot \ln (\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})$ en déplaçant $0$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0})}$

Étape 16.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Étape 16.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

${(\frac{1}{2 \cdot 0 + 1})}^{0}$

Étape 16.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.7.1

Multipliez $2$ par $0$ .

${(\frac{1}{0 + 1})}^{0}$

Étape 16.2.7.2

Additionnez $0$ et $1$ .

${(\frac{1}{1})}^{0}$

Étape 16.2.8

Divisez $1$ par $1$ .

$1^{0}$

Étape 16.2.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$