Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

Étape 3

Placez $x^{- 3}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int x^{3} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{3} d x + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 6

Comme $5 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $5 y$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y \int x d x + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \sqrt{x} d x$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 11.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$