Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{2 + 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{2 + x} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ .

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + x}$ comme ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 + x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.11

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.13

Multipliez $\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.3.14

Placez ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.5

Additionnez $\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 5

Réécrivez ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{2 + x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

Étape 6.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

Étape 6.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x}}$

Étape 6.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x}}$

Étape 6.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 2}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 8.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4}$