Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \csc^{2} (x) d x$

Étape 6

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int - \csc^{2} (x) d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\tan (x) + C - \int \csc^{2} (x) d x$

Étape 8

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$\tan (x) + C - (- \cot (x) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\tan (x) + \cot (x) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \cot (x) + C$