Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x^{3} - 2$ . Alors $d u = 9 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x^{3} - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x^{3} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$9 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{9}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}} \cdot 9} d u$

Étape 3.2

Déplacez $9$ à gauche de $u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{9 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $3$ .

$\frac{3}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Étape 5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.2.1

Retirez $u^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 5.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Étape 5.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 7.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$u^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{3} - 2$ .

${(3 x^{3} - 2)}^{\frac{1}{3}} + C$