Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 4 - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 4 - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 4.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3$

Étape 4.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$6 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Étape 5.3

Déplacez $3$ à gauche de $u^{2}$ .

$6 \int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u)$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 6$ .

$\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 9.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 9.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 9.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 9.1.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 9.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 9.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez $- 2 (- u^{- 1} + C)$ comme $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Étape 11.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - 3 x$ .

$\frac{2}{4 - 3 x} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{4 - 3 x} + C$