Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{1}{3} x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \sin (\frac{x}{3})$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{3}$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- 5 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{1}{3}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.7

Associez $\cos (\frac{x}{3})$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.8

Associez $- 5$ et $\frac{\cos (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ et $0$ .

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- \frac{5}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{3})]$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} \cos (\frac{x}{3})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{5}{3} \cdot (- \sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{x}{3})$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{5}{3}) \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Étape 2.3.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\sin (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{3}))$

Étape 2.3.2.2

Associez $\sin (\frac{x}{3})$ et $\frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\sin (\frac{x}{3}) \cdot 5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sin (\frac{x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{3})$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $\frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 \sin (\frac{x}{3})}{9}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{3} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (\frac{x}{3}) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{3})}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{x}{3})$ par $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = \frac{0}{5}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$\cos (\frac{x}{3}) = 0$

Étape 5.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{3} = \arccos (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Étape 5.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Étape 5.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Étape 5.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.7

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.2.1

Simplifiez $3 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.2.1.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 3 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 3 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 3 \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.4

Multipliez $3 \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.7.2.2.1.4.1

Associez $3$ et $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Étape 5.8

La solution de l’équation est $\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2}$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Étape 7.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{5 \cdot 1}{9}$

Étape 7.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5}{9}$

Étape 8

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un minimum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 π}{2})) - 15$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2}) - 15$

Étape 9.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2}) - 15$

Étape 9.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{π}{2}) - 15$

Étape 9.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 \cdot 1 - 15$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 5 - 15$

Étape 9.2.2

Soustrayez $15$ de $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 20$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 20$ .

$y = - 20$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{9 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{5 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 11.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 11.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 11.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Étape 11.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$\frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Étape 11.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{5 (- 1 \cdot 1)}{9}$

Étape 11.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{9}$

Étape 11.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- 5}{9}$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{9}$

Étape 12

$x = \frac{9 π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{9 π}{2}$ est un maximum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{9 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot (\frac{9 π}{2})) - 15$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Étape 13.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2}) - 15$

Étape 13.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \sin (\frac{3 π}{2}) - 15$

Étape 13.2.1.2

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- \sin (\frac{π}{2})) - 15$

Étape 13.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 (- 1 \cdot 1) - 15$

Étape 13.2.1.4

Multipliez $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 5 \cdot - 1 - 15$

Étape 13.2.1.4.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = 5 - 15$

Étape 13.2.2

Soustrayez $15$ de $5$ .

$f (\frac{9 π}{2}) = - 10$

Étape 13.2.3

La réponse finale est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 5 \sin (\frac{1}{3} x) - 15$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 20)$ est un minimum local

$(\frac{9 π}{2}, - 10)$ est un maximum local

Étape 15