Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 15} \frac{2}{\sqrt{x + 5}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 15} \frac{1}{\sqrt{x + 5}}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $15$ .

$2 \frac{lim_{x \to 15} 1}{lim_{x \to 15} \sqrt{x + 5}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $15$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 15} \sqrt{x + 5}}$

Étape 1.4

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 15} x + 5}}$

Étape 1.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $15$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 15} x + lim_{x \to 15} 5}}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $15$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 15} x + 5}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $15$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{15 + 5}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Additionnez $15$ et $5$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{20}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{4 (5)}}$

Étape 3.1.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Étape 3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \frac{1}{2 \sqrt{5}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$2 \frac{1}{2 (\sqrt{5})}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1}{2 \sqrt{5}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 3.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Forme décimale :

$0.44721359 \dots$