Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

Étape 3

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ à $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ .

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

Étape 4

Laissez $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $4 x - \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - \frac{π}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- \frac{π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

Étape 5

Associez $\csc^{2} (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

Étape 7

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - \frac{π}{3}$ .

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$