Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , placez $14$ en dehors de l’intégrale.

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 9 - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 9 - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$0 - 2$

Étape 2.1.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 9 - 2 x$ .

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$u_{lower} = 9 + 16$

Étape 2.3.2

Additionnez $9$ et $16$ .

$u_{lower} = 25$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 9 - 2 x$ .

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$u_{upper} = 9 - 8$

Étape 2.5.2

Soustrayez $8$ de $9$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Étape 3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 14$ .

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $2$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 7.1.2.2.4

Divisez $- 7$ par $1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.2.1

Retirez $u^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 7.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Étape 7.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Étape 7.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ sur $1$ et sur $25$ .

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

Étape 9.2.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 9.2.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Étape 9.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Étape 9.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

Étape 9.2.7

Évaluez l’exposant.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

Étape 9.2.8

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

Étape 9.2.9

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

Étape 9.2.10

Associez $- 2$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

Étape 9.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

Étape 9.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.12.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

Étape 9.2.12.2

Additionnez $- 10$ et $2$ .

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

Étape 9.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 7 (- \frac{8}{5})$

Étape 9.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$7 (\frac{8}{5})$

Étape 9.2.15

Associez $7$ et $\frac{8}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

Étape 9.2.16

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{56}{5}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{56}{5}$

Forme décimale :

$11.2$

Forme de nombre mixte :

$11 \frac{1}{5}$

Étape 11