Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sin (6 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (6 x)$ .

$x (- \frac{1}{6} \cos (6 x)) - \int - \frac{1}{6} \cos (6 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\cos (6 x)$ et $\frac{1}{6}$ .

$x (- \frac{\cos (6 x)}{6}) - \int - \frac{1}{6} \cos (6 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (6 x)}{6}$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} - \int - \frac{1}{6} \cos (6 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} - (- \frac{1}{6} \int \cos (6 x) d x)$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + 1 (\frac{1}{6} \int \cos (6 x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{6} \int \cos (6 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 5.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{6} \int \cos (u) \frac{1}{6} d u$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{6} \int \frac{\cos (u)}{6} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int \cos (u) d u)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{6 \cdot 6} \int \cos (u) d u$

Étape 8.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{36} \int \cos (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{36} (\sin (u) + C)$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Réécrivez $- \frac{x \cos (6 x)}{6} + \frac{1}{36} (\sin (u) + C)$ comme $- \frac{1}{6} x \cos (6 x) + \frac{1}{36} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{6} x \cos (6 x) + \frac{1}{36} \sin (u) + C$

Étape 10.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{x}{6} \cos (6 x) + \frac{1}{36} \sin (u) + C$

Étape 10.2.2

Associez $\cos (6 x)$ et $\frac{x}{6}$ .

$- \frac{\cos (6 x) x}{6} + \frac{1}{36} \sin (u) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$- \frac{\cos (6 x) x}{6} + \frac{1}{36} \sin (6 x) + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (6 x) x}{6}$ .

$- \frac{1}{6} x \cos (6 x) + \frac{1}{36} \sin (6 x) + C$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Associez $x$ et $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{x}{6} \cos (6 x) + \frac{1}{36} \sin (6 x) + C$

Étape 13.2

Associez $\cos (6 x)$ et $\frac{x}{6}$ .

$- \frac{\cos (6 x) x}{6} + \frac{1}{36} \sin (6 x) + C$

Étape 14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (6 x) x}{6}$ .

$- \frac{1}{6} x \cos (6 x) + \frac{1}{36} \sin (6 x) + C$