Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\sqrt{x - 4})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{1}{1 + x - 4} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.4

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 4.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.10

Associez les fractions.

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Étape 4.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.10.3

Placez ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Étape 4.10.4

Multipliez $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x - 3}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 4.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.13

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + 0)$

Étape 4.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.14.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \cdot 1$

Étape 4.14.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$