Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{4} (y - (y^{2} - 12)) d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 3}^{4} y - (y^{2} - 12) d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{4} y d y + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - (y^{2} - 12) d y$

Étape 4

Multipliez $- (y^{2} - 12)$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} - - 12 d y$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} + 12 d y$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} y^{2} d y + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 12 d y$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4}) + 12 y]_{- 3}^{4}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{4}$ et $12 y]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 12 y]_{- 3}^{4} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} y^{2} + 12 y$ sur $4$ et sur $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 11.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.3.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.4

Multipliez $12$ par $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.5

Additionnez $8$ et $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.6

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.8

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.9

Pour écrire $- 36$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.10

Associez $- 36$ et $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.12.1

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.12.2

Soustrayez $72$ de $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.15

Multipliez $\frac{63}{2}$ par $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.16

Pour écrire $56$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.17

Associez $56$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.19.1

Multipliez $56$ par $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.19.2

Additionnez $112$ et $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.20

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Étape 11.2.3.21

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

Étape 11.2.3.22

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.22.1

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Étape 11.2.3.22.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.22.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Étape 11.2.3.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Étape 11.2.3.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

Étape 11.2.3.22.2.4

Divisez $- 9$ par $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

Étape 11.2.3.23

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

Étape 11.2.3.24

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 11.2.3.25

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Étape 11.2.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

Étape 11.2.3.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.27.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

Étape 11.2.3.27.2

Additionnez $64$ et $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

Étape 11.2.3.28

Pour écrire $\frac{175}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

Étape 11.2.3.29

Pour écrire $- \frac{91}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3.30

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.30.1

Multipliez $\frac{175}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3.30.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.3.30.3

Multipliez $\frac{91}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.30.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

Étape 11.2.3.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

Étape 11.2.3.32

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.32.1

Multipliez $175$ par $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

Étape 11.2.3.32.2

Multipliez $- 91$ par $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

Étape 11.2.3.32.3

Soustrayez $182$ de $525$ .

$\frac{343}{6}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{343}{6}$

Forme décimale :

$57.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$57 \frac{1}{6}$

Étape 13