Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{10} x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Associez $5$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.4

Associez $\frac{5}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.5

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x^{3} - 18 x$ .

$2 x^{3} - 18 x$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x^{3} - 18 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 18 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 4.3

Remplacez $- 3$ dans $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.2

Associez $\frac{1}{10}$ et $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.4.1

Multipliez $- 3$ par ${(- 3)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

Étape 4.3.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

Étape 4.3.2.2

Pour écrire $81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

Étape 4.3.2.3

Associez $81$ et $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

Étape 4.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

Étape 4.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Multipliez $81$ par $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

Étape 4.3.2.5.2

Additionnez $- 243$ et $810$ .

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

Étape 4.3.2.6

La réponse finale est $\frac{567}{10}$ .

$\frac{567}{10}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 3$ dans $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ est $(- 3, \frac{567}{10})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 3, \frac{567}{10})$

Étape 4.5

Remplacez $3$ dans $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

Étape 4.5.2.1.2

Associez $\frac{1}{10}$ et $243$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

Étape 4.5.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

Étape 4.5.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

Étape 4.5.2.2

Pour écrire $- 81$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

Étape 4.5.2.3

Associez $- 81$ et $\frac{10}{10}$ .

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

Étape 4.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

Étape 4.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.5.1

Multipliez $- 81$ par $10$ .

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

Étape 4.5.2.5.2

Soustrayez $810$ de $243$ .

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

Étape 4.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

Étape 4.5.2.7

La réponse finale est $- \frac{567}{10}$ .

$- \frac{567}{10}$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $3$ dans $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ est $(3, - \frac{567}{10})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(3, - \frac{567}{10})$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.1$ dans l’expression.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 59.582$ et $55.8$ .

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 3.782$ .

$- 3.782$

Étape 6.3

Sur $- 3.1$ , la dérivée seconde est $- 3.782$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

Étape 7.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

Étape 7.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

Étape 7.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

Étape 7.2.1.8

Multipliez $- 9$ par $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

Étape 7.2.2

Pour écrire $27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.2.3

Associez $27$ et $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.5.1

Multipliez $27$ par $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

Étape 7.2.5.2

Additionnez $- 27$ et $108$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{81}{4}$ .

$\frac{81}{4}$

Étape 7.3

Sur $- \frac{3}{2}$ , la dérivée seconde est $20.25$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 3, 0)$ .

Augmente sur $(- 3, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Étape 8.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

Étape 8.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

Étape 8.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

Étape 8.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

Étape 8.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

Étape 8.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

Étape 8.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

Étape 8.2.1.6

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

Étape 8.2.2

Pour écrire $- 27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 8.2.3

Associez $- 27$ et $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

Étape 8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

Étape 8.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.1

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

Étape 8.2.5.2

Soustrayez $108$ de $27$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

Étape 8.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

Étape 8.2.7

La réponse finale est $- \frac{81}{4}$ .

$- \frac{81}{4}$

Étape 8.3

Sur $\frac{3}{2}$ , la dérivée seconde est $- 20.25$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, 3)$

Diminue sur $(0, 3)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3.1$ dans l’expression.

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Élevez $3.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $2$ par $29.791$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 18$ par $3.1$ .

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

Étape 9.2.2

Soustrayez $55.8$ de $59.582$ .

$f'' (3.1) = 3.782$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $3.782$ .

$3.782$

Étape 9.3

Sur $3.1$ , la dérivée seconde est $3.782$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 10

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ .

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

Étape 11