Calcul infinitésimal Exemples

$y \cdot 2^{y} = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = 2^{y}$ .

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Étape 2.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ .

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

Étape 5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ .

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Étape 5.2

Factorisez $y' \cdot 2^{y}$ à partir de $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y' \cdot 2^{y}$ à partir de $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $y' \cdot 2^{y}$ à partir de $y' \cdot 2^{y}$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $y' \cdot 2^{y}$ à partir de $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

Étape 5.3

Multipliez $y$ par $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

Étape 5.4

Multipliez $y$ par $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ par $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ par $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ .

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2^{y}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y \ln (2) + 1$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$