Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 5}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} + 5}$ comme ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.6.3

Placez ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

Étape 4.10

Associez les fractions.

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Étape 4.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

Étape 4.10.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

Étape 4.10.3

Associez $\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$