Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Étape 2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Étape 2.3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Étape 2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Étape 2.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Étape 2.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Étape 2.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Étape 2.6.4.2.4

Divisez $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ par $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Étape 2.6.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$