Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{4} [3 y - (y^{2} - 4)] d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{4} 3 y - (y^{2} - 4) d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{4} 3 y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 1}^{4} y d y + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - (y^{2} - 4) d y$

Étape 6

Multipliez $- (y^{2} - 4)$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} - - 4 d y$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} + 4 d y$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - \int_{- 1}^{4} y^{2} d y + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d y$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 y]_{- 1}^{4}$

Étape 13.3

Évaluez $4 y$ sur $4$ et sur $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 13.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.4

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.5

Associez $8$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.7.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.8

Associez $3$ et $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.9

Multipliez $3$ par $15$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.10

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.14

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{45}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45}{2} - \frac{64 + 1}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.16

Additionnez $64$ et $1$ .

$\frac{45}{2} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.17

Pour écrire $\frac{45}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.18

Pour écrire $- \frac{65}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.4.19.1

Multipliez $\frac{45}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.19.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.19.3

Multipliez $\frac{65}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.19.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{45 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.21.1

Multipliez $45$ par $3$ .

$\frac{135 - 65 \cdot 2}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.21.2

Multipliez $- 65$ par $2$ .

$\frac{135 - 130}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.21.3

Soustrayez $130$ de $135$ .

$\frac{5}{6} + (4 \cdot 4) - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.22

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{5}{6} + 16 - 4 \cdot - 1$

Étape 13.4.23

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{5}{6} + 16 + 4$

Étape 13.4.24

Additionnez $16$ et $4$ .

$\frac{5}{6} + 20$

Étape 13.4.25

Pour écrire $20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} + 20 \cdot \frac{6}{6}$

Étape 13.4.26

Associez $20$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} + \frac{20 \cdot 6}{6}$

Étape 13.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 + 20 \cdot 6}{6}$

Étape 13.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.28.1

Multipliez $20$ par $6$ .

$\frac{5 + 120}{6}$

Étape 13.4.28.2

Additionnez $5$ et $120$ .

$\frac{125}{6}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{125}{6}$

Forme décimale :

$20.8\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$20 \frac{5}{6}$

Étape 15