Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(4 - 5 x)}^{4}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(4 - 5 x)}^{4} d x$

Étape 3

Laissez $u = 4 - 5 x$ . Alors $d u = - 5 d x$ , donc $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 4 - 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $4 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 5 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 3.1.4

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{- 5} d u$

Étape 4

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{4} (- \frac{1}{5}) d u$

Étape 4.2

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{u^{4}}{5} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{u^{4}}{5} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{5} \int u^{4} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $- \frac{1}{5} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ comme $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 8.2

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 \cdot 5} u^{5} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{1}{25} u^{5} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - 5 x$ .

$- \frac{1}{25} {(4 - 5 x)}^{5} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(4 - 5 x)}^{4}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{25} {(4 - 5 x)}^{5} + C$