Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} \cdot \frac{6 x}{e^{x}}$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{e^{x}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$6 \frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 5

Associez $6$ et $\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{6 (e^{x} - x e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 e^{x} + 6 (- x e^{x})}{e^{2 x}}$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{6 e^{x} - 6 x e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 6.4

Factorisez $6 e^{x}$ à partir de $- 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $6 e^{x}$ à partir de $- 6 e^{x} x$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 6.4.2

Factorisez $6 e^{x}$ à partir de $6 e^{x}$ .

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)}{e^{2 x}}$

Étape 6.4.3

Factorisez $6 e^{x}$ à partir de $6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)$ .

$\frac{6 e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $6 e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Étape 6.5.2.4

Divisez $6 e^{- x} (- x + 1)$ par $1$ .

$6 e^{- x} (- x + 1)$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$6 e^{- x} (- x) + 6 e^{- x} \cdot 1$

Étape 6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x} \cdot 1$

Étape 6.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Étape 6.9

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Étape 6.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$ .

$- 6 x e^{- x} + 6 e^{- x}$