Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

Étape 1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cot^{2} (x)$ comme $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Étape 5

Comme la dérivée de $- \cot (x)$ est $\csc^{2} (x)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (x)$ est $- \cot (x)$ .

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ et $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Étape 6.2

Évaluez $- x - \cot (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Étape 6.3.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{6})$ est $\sqrt{3}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Étape 6.3.4

Additionnez $- \frac{π}{2}$ et $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Étape 6.3.5

Pour écrire $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.3.6

Associez $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ et $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Étape 6.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Étape 6.3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.3.9

Associez $7$ et $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- π$ .

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ .

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Étape 6.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Étape 6.3.13

Réécrivez $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ comme $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Étape 6.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Étape 6.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.5

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.6

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.8

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.9

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.11

Multipliez $7 \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 6.4.11.1

Associez $7$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.11.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.12

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.13

Annulez le facteur commun à $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 6.4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{14 π}{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.13.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.13.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.4.13.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Étape 6.4.13.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.13.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

Étape 6.4.13.4.4

Divisez $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ par $1$ .

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

Étape 6.4.14

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

Étape 6.4.15

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$4.79397279 \dots$