Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 2}{x + 1} d x$

Étape 1

Divisez $x^{2} - 2$ par $x + 1$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					-	$x$	-	$1$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$
							-	$1$

Étape 1.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{0}^{2} x - 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 6

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Étape 6.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 6.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Étape 6.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$ et $- x]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Étape 9.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0 - (0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 - (0 + 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.12

Soustrayez $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ de $0$ .

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Étape 11.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- \ln (\frac{3}{1})$

Étape 11.3

Divisez $3$ par $1$ .

$- \ln (3)$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \ln (3)$

Forme décimale :

$- 1.09861228 \dots$

Étape 13