Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

Étape 4

Laissez $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Alors $d u_{2} = - e^{- x} d x$ , donc $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 4.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 4.1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$0 - e^{- x}$

Étape 4.1.4

Soustrayez $e^{- x}$ de $0$ .

$- e^{- x}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 5

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$