Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \sqrt{x} d x$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$