Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 - 6 x + x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 6 x + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 6 + 3 x^{2}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6 + 3 x^{2}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 x^{2} - 6$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 6$ .

$3 x^{2} - 6$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 6$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 6$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 6$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $6$ par $3$ .

$x^{2} = 2$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $4 - 6 x + x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ .

$4 - 6 \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{3}}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{8}$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.1.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $- 6 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$4 - 4 \sqrt{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{2}$ .

$4 - 6 (- \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$4 + 6 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$4 + 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 + 6 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{3}}$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{8}$

Étape 4.2.2.1.6

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.2.2.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 + 6 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2})$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 + 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{2}$ de $6 \sqrt{2}$ .

$4 + 4 \sqrt{2}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{2}, 4 - 4 \sqrt{2}), (- \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$

Étape 5