Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} - \sin (x + y) + y$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} - \sin (x + y) + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x + y)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x + y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

$y^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$y^{2} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$y^{2} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7

Multipliez $\cos (x + y)$ par $1$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + 0$

Étape 4.2

Additionnez $y^{2} - \cos (x + y)$ et $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y)$