Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\frac{2}{3}})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{2}{3}}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.7

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.8

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d y} [x]$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x'$

Étape 3.10

Associez $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ et $x'$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $\frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2 x'}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x'}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 x' = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $3 x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x' = 3 x^{\frac{1}{3}}$ par $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{2}$