Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin^{4} (x^{2} + 3 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sin (x^{2} + 3 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x^{2} + 3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x^{2} + 3 x)$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 3 x$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 3 x$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3)$