Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2^{5 x}$ et $g (x) = 3^{4 x^{2}}$ .

$2^{5 x} \frac{d}{d x} [3^{4 x^{2}}] + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x^{2}$ .

$2^{5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$2^{5 x} (3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x^{2}$ .

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{2} \cdot 2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (2 x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 6

Multipliez $2^{2 + 5 x}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $2$ .

$2 \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2^{2 + 5 x}$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \cdot 1))$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \cdot 5)$

Étape 8.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $2^{5 x} \ln (2)$ .

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (5 \cdot (2^{5 x} \ln (2)))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$

Étape 9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$ .

$x \cdot 3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$