Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x$

Étape 4

Divisez $3 x^{2} + 5 x - 1$ par $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$1$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 6 x$

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$

Étape 4.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Étape 4.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $11 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Étape 4.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					+	$11 x$	-	$22$

Étape 4.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $11 x - 22$

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$

Étape 4.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$21$

Étape 4.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 3 x + 11 + \frac{21}{x - 2} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Étape 10

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , placez $21$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Étape 11

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 11.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$