Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\sqrt[3]{π}} x^{2} \cos (x^{3}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

Étape 1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3}$ .

$u_{upper} = {\sqrt[3]{π}}^{3}$

Étape 1.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{π}}^{3}$ comme $π$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{π}$ comme $π^{\frac{1}{3}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 1.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π^{1}$

Étape 1.5.5

Simplifiez

$u_{upper} = π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{π}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) - \sin (0))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) - 0)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) + 0)$

Étape 6.3

Additionnez $\sin (π)$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \sin (π)$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{3}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin (0)}{3}$

Étape 7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{3}$

Étape 7.2

Divisez $0$ par $3$ .

$0$