Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Étape 1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

Étape 2

Divisez $x^{3}$ par $x^{2} - 4$ .

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Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 - 4 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Étape 2.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

Étape 2.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

Étape 6

Laissez $u = x^{2} - 4$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = x^{2} - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 6.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Étape 7.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

Étape 7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 9.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 10

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

Étape 11

Simplifiez

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

Étape 13.2

Pour écrire $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

Étape 13.3

Associez $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

Étape 13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 13.5.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

Étape 13.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$