Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (θ) \cot (θ)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = \cot (θ)$ .

$\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 2

La dérivée de $\cot (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \csc^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Étape 3

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) (- \sin (θ))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \csc^{2} (θ) \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Étape 4.2.4

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ .

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cot (θ) \sin (θ)$

Étape 4.2.5

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.5.1

Ajoutez des parenthèses.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\cot (θ) \sin (θ))$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez $- \cot (θ) \sin (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ))$

Étape 4.2.5.3

Annulez les facteurs communs.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cos (θ)$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin^{2} (θ)$ .

$- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} - \cos (θ)$

Étape 4.3.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ)$

Étape 4.3.3

Convertissez de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ à $\cot (θ)$ .

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ)) - \cos (θ)$

Étape 4.3.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$- \csc (θ) \cot (θ) - \cos (θ)$