Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(4 + e^{x})}^{- 4} e^{x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{- 4} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Étape 3

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Étape 3.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Étape 3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 + e^{x}$ .

$- \frac{1}{3 {(4 + e^{x})}^{3}} + C$