Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \sin^{2} (2 x^{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin^{2} (2 x^{3}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin^{2} (2 x^{3})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x^{3})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (2 x^{3})$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (2 x^{3})$ .

$3 (2 \sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 (\sin (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3})])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x^{3}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x^{3}$ .

$6 \sin (2 x^{3}) (\cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) (3 x^{2})$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$

Étape 3.5.4.2

Réorganisez les facteurs de $36 \sin (2 x^{3}) \cos (2 x^{3}) x^{2}$ .

$36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} \cos (2 x^{3}) \sin (2 x^{3})$