Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{- 4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x)$

Étape 4

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Étape 4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Étape 4.3

Réécrivez $36 x^{2}$ comme ${(6 x)}^{2}$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(6 x)}^{2}}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 5.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u)$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{4})$

$- 4 (\frac{1}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 8.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Étape 8.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Étape 8.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Étape 8.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Étape 8.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Étape 8.2

Réécrivez $- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ comme $- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} (6 x)) + C$

Étape 10

Associez $\arcsin (\frac{1}{4} (6 x))$ et $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) \cdot 2}{3} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) + C$