Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Étape 2

Laissez $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Alors $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2.1.3

Réécrivez $\sec (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2.1.5

Multipliez $\cos (3 x)$ par $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 2.1.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.1.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.1.6.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.1.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.1.7

Différenciez.

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Étape 2.1.7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Étape 2.1.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.7.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Étape 2.1.7.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Étape 2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.8.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.8.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Étape 2.1.8.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (3 x)$ et $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Étape 2.1.8.1.3

Réécrivez $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Étape 2.1.8.1.4

Annulez les facteurs communs.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Étape 2.1.8.3

Réécrivez $\tan (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 2.1.8.4

Associez $3$ et $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 2.1.8.5

Séparez les fractions.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 2.1.8.6

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Étape 2.1.8.7

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Étape 3

Associez $u_{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{3}$ par rapport à $u_{3}$ est $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ comme $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$