Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Étape 3.4

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Étape 3.5

Associez $\tan^{2} (x)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

Étape 3.6

Associez $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

Étape 3.7

Déplacez $3$ à gauche de $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Étape 3.8.2

Divisez $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Étape 4.2

Factorisez $\sec^{2} (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $\sec^{2} (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

Étape 4.2.2

Multipliez par $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

Étape 4.2.3

Factorisez $\sec^{2} (x)$ à partir de $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Étape 4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4.4

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

Étape 4.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\sec^{4} (x)$