Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

Étape 1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ par $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ par $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt{4 + e^{t}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Étape 2.3

Élevez $\sqrt{4 + e^{t}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ comme $4 + e^{t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 + e^{t}}$ comme ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

Étape 2.6.5

Simplifiez

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

Étape 3

Prenez la dérivée de $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Étape 5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Étape 6

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

Étape 8.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

Étape 8.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

Étape 8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

Étape 8.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

Étape 8.4.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

Étape 8.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$