Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\tan (11 \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\tan (11 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 1.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 1.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \tan (11 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , donc $- d u = \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 11 x^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.2

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$11 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$11 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$11 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.1.10

Associez $11$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{11 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.1.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{2}{11} \tan (u) d u$

Étape 3

Comme $\frac{2}{11}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{2}{11}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{11} \int \tan (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{2}{11} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (u) |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $11 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{11} \ln (| \sec (11 x^{\frac{1}{2}}) |) + C$