Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x} d x$

Étape 3

Divisez $3 x^{2} + 4 x + 1$ par $x$ .

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Étape 3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{2}$

$4 x$

$1$

Étape 3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Étape 3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$0$

Étape 3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} + 0$

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$

Étape 3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$

Étape 3.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Étape 3.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Étape 3.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$0$

Étape 3.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 0$

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$

Étape 3.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$
							+	$1$

Étape 3.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 + \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \ln (| x |) + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$