Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 (2 x)$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 21 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 21$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x - 24 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x - 24 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 42 x - 24$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 x^{3} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 12 (2 x)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 4 x^{3} - 21 x^{2} - 24 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- x (4 x^{2}) - 21 x^{2} - 24 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 21 x^{2}$ .

$- x (4 x^{2}) - x (21 x) - 24 x = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- 24 x$ .

$- x (4 x^{2}) - x (21 x) - x \cdot 24 = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $- x$ à partir de $- x (4 x^{2}) - x (21 x)$ .

$- x (4 x^{2} + 21 x) - x \cdot 24 = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez $- x$ à partir de $- x (4 x^{2} + 21 x) - x (24)$ .

$- x (4 x^{2} + 21 x + 24) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 21 x + 24 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $4 x^{2} + 21 x + 24$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $4 x^{2} + 21 x + 24$ égal à $0$ .

$4 x^{2} + 21 x + 24 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $4 x^{2} + 21 x + 24 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 21$ et $c = 24$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 24)}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $24$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 384}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Soustrayez $384$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1.1

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $24$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 384}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.4.1.3

Soustrayez $384$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.4.4

Réécrivez $- 21$ comme $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{57})}{8}$

Étape 5.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{57})}{8}$

Étape 5.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1.1

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 4 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 16 \cdot 24}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $24$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 384}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.5.1.3

Soustrayez $384$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 4}$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.5.4

Réécrivez $- 21$ comme $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{57})}{8}$

Étape 5.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (21) - (\sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{57})}{8}$

Étape 5.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (4 x^{2} + 21 x + 24) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0)}^{2} - 42 \cdot 0 - 24$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 \cdot 0 - 42 \cdot 0 - 24$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$0 - 42 \cdot 0 - 24$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 42$ par $0$ .

$0 + 0 - 24$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 24$

Étape 9.2.2

Soustrayez $24$ de $0$ .

$- 24$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - {(0)}^{4} - 7 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 0 - 7 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 7 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 7 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}) - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 12 (1 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$- 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.6

Associez $- 3$ et $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$ .

$\frac{- 3 {(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.7

Réécrivez ${(21 - \sqrt{57})}^{2}$ comme $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ .

$\frac{- 3 ((21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.8

Développez $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (21 (21 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1.1

Multipliez $21$ par $21$ .

$\frac{- 3 (441 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.3

Multipliez $21$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.4

Multipliez $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.4.2

Multipliez $\sqrt{57}$ par $1$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.4.3

Élevez $\sqrt{57}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.4.4

Élevez $\sqrt{57}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1} {\sqrt{57}}^{1})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.5

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.9.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{1})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57)}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.2

Additionnez $441$ et $57$ .

$\frac{- 3 (498 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.9.3

Soustrayez $21 \sqrt{57}$ de $- 21 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 3 (498 - 42 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.10

Annulez le facteur commun à $498 - 42 \sqrt{57}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3 (498 - 42 \sqrt{57})$ .

$\frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 13.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ dans le numérateur.

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 42 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{8} - 24$

Étape 13.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 42$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 21) \frac{- (21 - \sqrt{57})}{8} - 24$

Étape 13.1.12.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 13.1.12.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 13.1.12.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} - 21 \frac{- (21 - \sqrt{57})}{4} - 24$

Étape 13.1.13

Associez $- 21$ et $\frac{- (21 - \sqrt{57})}{4}$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 21 (- (21 - \sqrt{57}))}{4} - 24$

Étape 13.1.14

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4} - 24$

Étape 13.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Multipliez $\frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2} - 24$

Étape 13.2.2

Multipliez $\frac{21 (21 - \sqrt{57})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

Étape 13.2.3

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

Étape 13.2.4

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 13.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 (249 - 21 \sqrt{57}) + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \cdot 249 - 3 (- 21 \sqrt{57}) + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.2

Multipliez $- 3$ par $249$ .

$\frac{- 747 - 3 (- 21 \sqrt{57}) + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.3

Multipliez $- 21$ par $- 3$ .

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 21 (21 - \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.5

Multipliez $21$ par $21$ .

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + (441 + 21 (- \sqrt{57})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.6

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + (441 - 21 \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 441 \cdot 2 - 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.8

Multipliez $441$ par $2$ .

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 882 - 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.9

Multipliez $2$ par $- 21$ .

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 882 - 42 \sqrt{57} - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.10

Multipliez $- 24$ par $8$ .

$\frac{- 747 + 63 \sqrt{57} + 882 - 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

Étape 13.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Additionnez $- 747$ et $882$ .

$\frac{135 + 63 \sqrt{57} - 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

Étape 13.5.2

Soustrayez $192$ de $135$ .

$\frac{- 57 + 63 \sqrt{57} - 42 \sqrt{57}}{8}$

Étape 13.5.3

Soustrayez $42 \sqrt{57}$ de $63 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 57 + 21 \sqrt{57}}{8}$

Étape 13.5.4

Réécrivez $- 57$ comme $- 1 (57)$ .

$\frac{- 1 (57) + 21 \sqrt{57}}{8}$

Étape 13.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $21 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 1 (57) - (- 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 13.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (57) - (- 21 \sqrt{57})$ .

$\frac{- 1 (57 - 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 13.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{57 - 21 \sqrt{57}}{8}$

Étape 14

$x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ dans l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{4} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{4}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.4

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{21^{4} + 4 \cdot (21^{3} (- \sqrt{57})) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.1

Élevez $21$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (21^{3} (- \sqrt{57})) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.2

Élevez $21$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (9261 (- \sqrt{57})) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.3

Multipliez $4$ par $9261$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 (- \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.4

Multipliez $- 1$ par $37044$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (21^{2} {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.5

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (441 {(- \sqrt{57})}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.6

Multipliez $6$ par $441$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 {(- \sqrt{57})}^{2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 (1 {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.9

Multipliez ${\sqrt{57}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.10

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.10.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 15.2.1.6.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57 + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.10.5

Évaluez l’exposant.

Étape 15.2.1.6.11

Multipliez $2646$ par $57$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.12

Multipliez $4$ par $21$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 {(- \sqrt{57})}^{3} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{57}}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- {\sqrt{57}}^{3}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.15

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{57^{3}}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.16

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{185193}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.17

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.17.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{3249 (57)}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.17.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- \sqrt{57^{2} \cdot 57}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- (57 \sqrt{57})) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.19

Multipliez $57$ par $- 1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (- 57 \sqrt{57}) + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.20

Multipliez $- 57$ par $84$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {(- \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.21

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 1 {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.23

Multipliez ${\sqrt{57}}^{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{4}$ comme $57^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{4}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.6.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 57^{2}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.6.25

Élevez $57$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 - 37044 \sqrt{57} + 150822 - 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.7

Additionnez $194481$ et $150822$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{345303 - 37044 \sqrt{57} - 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.8

Additionnez $345303$ et $3249$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 - 37044 \sqrt{57} - 4788 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.9

Soustrayez $4788 \sqrt{57}$ de $- 37044 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 - 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.10

Annulez le facteur commun à $348552 - 41832 \sqrt{57}$ et $4096$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.10.1

Factorisez $8$ à partir de $348552$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) - 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.10.2

Factorisez $8$ à partir de $- 41832 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) + 8 (- 5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.10.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (43569) + 8 (- 5229 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 - 5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.10.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.10.4.1

Factorisez $8$ à partir de $4096$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 - 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 - 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{3}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}})) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.13

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.14

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{21^{3} + 3 \cdot (21^{2} (- \sqrt{57})) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.15.1

Élevez $21$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (21^{2} (- \sqrt{57})) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.2

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (441 (- \sqrt{57})) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.3

Multipliez $3$ par $441$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 (- \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.4

Multipliez $- 1$ par $1323$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3 \cdot (21 {(- \sqrt{57})}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.5

Multipliez $3$ par $21$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 {(- \sqrt{57})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 (1 {\sqrt{57}}^{2}) + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.8

Multipliez ${\sqrt{57}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 {\sqrt{57}}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.9

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.15.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.15.9.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 15.2.1.15.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.10

Multipliez $63$ par $57$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 + {(- \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.13

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{57^{3}}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.14

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{185193}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.15

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.15.15.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{3249 (57)}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.15.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - \sqrt{57^{2} \cdot 57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - (57 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.15.17

Multipliez $57$ par $- 1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 - 1323 \sqrt{57} + 3591 - 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.16

Additionnez $9261$ et $3591$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 - 1323 \sqrt{57} - 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.17

Soustrayez $57 \sqrt{57}$ de $- 1323 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 - 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.18

Annulez le facteur commun à $12852 - 1380 \sqrt{57}$ et $512$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.18.1

Factorisez $4$ à partir de $12852$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) - 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.18.2

Factorisez $4$ à partir de $- 1380 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) + 4 (- 345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.18.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (3213) + 4 (- 345 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 - 345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.18.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.18.4.1

Factorisez $4$ à partir de $512$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 - 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 - 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.19

Multipliez $- 7 (- \frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.19.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + 7 (\frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.19.2

Associez $7$ et $\frac{3213 - 345 \sqrt{57}}{128}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 {(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 15.2.1.20

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.20.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 - \sqrt{57}}{8})}^{2})$

Étape 15.2.1.20.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 - \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

Étape 15.2.1.21

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 (1 (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

Étape 15.2.1.22

Multipliez $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$

Étape 15.2.1.23

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64}$

Étape 15.2.1.24

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.24.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{64})$

Étape 15.2.1.24.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

Étape 15.2.1.24.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

Étape 15.2.1.24.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - 3 \frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$

Étape 15.2.1.25

Associez $- 3$ et $\frac{{(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 {(21 - \sqrt{57})}^{2}}{16}$

Étape 15.2.1.26

Réécrivez ${(21 - \sqrt{57})}^{2}$ comme $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 ((21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.27

Développez $(21 - \sqrt{57}) (21 - \sqrt{57})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.27.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 (21 - \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.27.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} (21 - \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.27.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.28

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.28.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.28.1.1

Multipliez $21$ par $21$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 (- \sqrt{57}) - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.2

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} \cdot 21 - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.3

Multipliez $21$ par $- 1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} - \sqrt{57} (- \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.4

Multipliez $- \sqrt{57} (- \sqrt{57})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.28.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 1 \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.4.2

Multipliez $\sqrt{57}$ par $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.4.3

Élevez $\sqrt{57}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.4.4

Élevez $\sqrt{57}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{1 + 1})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{2})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.5

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.28.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.28.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{2}})}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57)}{16}$

Étape 15.2.1.28.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57} + 57)}{16}$

Étape 15.2.1.28.2

Additionnez $441$ et $57$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 - 21 \sqrt{57} - 21 \sqrt{57})}{16}$

Étape 15.2.1.28.3

Soustrayez $21 \sqrt{57}$ de $- 21 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 - 42 \sqrt{57})}{16}$

Étape 15.2.1.29

Annulez le facteur commun à $498 - 42 \sqrt{57}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.29.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3 (498 - 42 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{16}$

Étape 15.2.1.29.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.29.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 (8)}$

Étape 15.2.1.29.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 - 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8}$

Étape 15.2.1.29.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 15.2.1.30

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8} \cdot \frac{64}{64})$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{3 (249 - 21 \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

Étape 15.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 4$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $4$ par $128$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $8$ par $64$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 - 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- (43569 - 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 43569 - (- 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $43569$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - (- 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $- 5229$ par $- 1$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 7 (3213 - 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + (7 \cdot 3213 + 7 (- 345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.5

Multipliez $7$ par $3213$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + (22491 + 7 (- 345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.6

Multipliez $- 345$ par $7$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + (22491 - 2415 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 22491 \cdot 4 - 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.8

Multipliez $22491$ par $4$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.9

Multipliez $4$ par $- 2415$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 3 (249 - 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} + (- 3 \cdot 249 - 3 (- 21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.11

Multipliez $- 3$ par $249$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} + (- 747 - 3 (- 21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.12

Multipliez $- 21$ par $- 3$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} + (- 747 + 63 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 747 \cdot 64 + 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.14

Multipliez $- 747$ par $64$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 47808 + 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

Étape 15.2.4.15

Multipliez $64$ par $63$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 + 5229 \sqrt{57} + 89964 - 9660 \sqrt{57} - 47808 + 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 15.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 43569$ et $89964$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{46395 + 5229 \sqrt{57} - 9660 \sqrt{57} - 47808 + 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $47808$ de $46395$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 + 5229 \sqrt{57} - 9660 \sqrt{57} + 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 15.2.5.3

Soustrayez $9660 \sqrt{57}$ de $5229 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 - 4431 \sqrt{57} + 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 15.2.5.4

Additionnez $- 4431 \sqrt{57}$ et $4032 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 15.2.5.5

Réécrivez $- 1413$ comme $- 1 (1413)$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 15.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 399 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 - (399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 15.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1413) - (399 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 (1413 + 399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 15.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}) = - \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $- \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$ .

$y = - \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}) - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 12 (1 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}) - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.3

Multipliez $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$- 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.6

Associez $- 3$ et $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$ .

$\frac{- 3 {(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.7

Réécrivez ${(21 + \sqrt{57})}^{2}$ comme $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ .

$\frac{- 3 ((21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.8

Développez $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (21 (21 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.9.1.1

Multipliez $21$ par $21$ .

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9.1.2

Déplacez $21$ à gauche de $\sqrt{57}$ .

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9.1.4

Multipliez $57$ par $57$ .

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{3249})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9.1.5

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57)}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9.2

Additionnez $441$ et $57$ .

$\frac{- 3 (498 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.9.3

Additionnez $21 \sqrt{57}$ et $21 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 3 (498 + 42 \sqrt{57})}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.10

Annulez le facteur commun à $498 + 42 \sqrt{57}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3 (498 + 42 \sqrt{57})$ .

$\frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{16} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 (8)} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 42 (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) - 24$

Étape 17.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ dans le numérateur.

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 42 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{8} - 24$

Étape 17.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 42$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + 2 (- 21) \frac{- (21 + \sqrt{57})}{8} - 24$

Étape 17.1.12.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 17.1.12.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + 2 \cdot - 21 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{2 \cdot 4} - 24$

Étape 17.1.12.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} - 21 \frac{- (21 + \sqrt{57})}{4} - 24$

Étape 17.1.13

Associez $- 21$ et $\frac{- (21 + \sqrt{57})}{4}$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{- 21 (- (21 + \sqrt{57}))}{4} - 24$

Étape 17.1.14

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4} - 24$

Étape 17.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Multipliez $\frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4} \cdot \frac{2}{2} - 24$

Étape 17.2.2

Multipliez $\frac{21 (21 + \sqrt{57})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

Étape 17.2.3

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

Étape 17.2.4

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 17.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} + \frac{21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 (249 + 21 \sqrt{57}) + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 \cdot 249 - 3 (21 \sqrt{57}) + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.2

Multipliez $- 3$ par $249$ .

$\frac{- 747 - 3 (21 \sqrt{57}) + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.3

Multipliez $21$ par $- 3$ .

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 21 (21 + \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.5

Multipliez $21$ par $21$ .

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + (441 + 21 \sqrt{57}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 441 \cdot 2 + 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.7

Multipliez $441$ par $2$ .

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 882 + 21 \sqrt{57} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.8

Multipliez $2$ par $21$ .

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 882 + 42 \sqrt{57} - 24 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.9

Multipliez $- 24$ par $8$ .

$\frac{- 747 - 63 \sqrt{57} + 882 + 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

Étape 17.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.5.1

Additionnez $- 747$ et $882$ .

$\frac{135 - 63 \sqrt{57} + 42 \sqrt{57} - 192}{8}$

Étape 17.5.2

Soustrayez $192$ de $135$ .

$\frac{- 57 - 63 \sqrt{57} + 42 \sqrt{57}}{8}$

Étape 17.5.3

Additionnez $- 63 \sqrt{57}$ et $42 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 57 - 21 \sqrt{57}}{8}$

Étape 17.5.4

Réécrivez $- 57$ comme $- 1 (57)$ .

$\frac{- 1 (57) - 21 \sqrt{57}}{8}$

Étape 17.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 21 \sqrt{57}$ .

$\frac{- 1 (57) - (21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 17.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (57) - (21 \sqrt{57})$ .

$\frac{- 1 (57 + 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 17.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{57 + 21 \sqrt{57}}{8}$

Étape 18

$x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ dans l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{4} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{4}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - ({(- 1)}^{4} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{4}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}})) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}}) - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{8^{4}} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.4

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.5

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{21^{4} + 4 \cdot (21^{3} \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.1

Élevez $21$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (21^{3} \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.2

Élevez $21$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 4 \cdot (9261 \sqrt{57}) + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.3

Multipliez $4$ par $9261$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (21^{2} {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.4

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 6 \cdot (441 {\sqrt{57}}^{2}) + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.5

Multipliez $6$ par $441$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 {\sqrt{57}}^{2} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.6

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 19.2.1.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 2646 \cdot 57 + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.6.5

Évaluez l’exposant.

Étape 19.2.1.6.7

Multipliez $2646$ par $57$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{3}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.8

Multipliez $4$ par $21$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 {\sqrt{57}}^{3} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.9

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{57^{3}} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.10

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{185193} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.11

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.11.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{3249 (57)} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.11.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 \sqrt{57^{2} \cdot 57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 84 (57 \sqrt{57}) + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.13

Multipliez $57$ par $84$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + {\sqrt{57}}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{4}$ comme $57^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + {(57^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{4}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.6.14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{\frac{2}{1}}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.14.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 57^{2}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.6.15

Élevez $57$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{194481 + 37044 \sqrt{57} + 150822 + 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.7

Additionnez $194481$ et $150822$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{345303 + 37044 \sqrt{57} + 4788 \sqrt{57} + 3249}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.8

Additionnez $345303$ et $3249$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 + 37044 \sqrt{57} + 4788 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.9

Additionnez $37044 \sqrt{57}$ et $4788 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{348552 + 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.10

Annulez le facteur commun à $348552 + 41832 \sqrt{57}$ et $4096$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.10.1

Factorisez $8$ à partir de $348552$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) + 41832 \sqrt{57}}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.10.2

Factorisez $8$ à partir de $41832 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569) + 8 (5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.10.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (43569) + 8 (5229 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 + 5229 \sqrt{57})}{4096} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.10.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.10.4.1

Factorisez $8$ à partir de $4096$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 + 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{8 (43569 + 5229 \sqrt{57})}{8 \cdot 512} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{3}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}})) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{3}}{8^{3}}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.13

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.14

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{21^{3} + 3 \cdot (21^{2} \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.15.1

Élevez $21$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (21^{2} \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.2

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 3 \cdot (441 \sqrt{57}) + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.3

Multipliez $3$ par $441$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3 \cdot (21 {\sqrt{57}}^{2}) + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.4

Multipliez $3$ par $21$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 {\sqrt{57}}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.5

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{2}$ comme $57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.15.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{57}$ comme $57^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 {(57^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.15.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 63 \cdot 57 + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.6

Multipliez $63$ par $57$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + {\sqrt{57}}^{3}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.7

Réécrivez ${\sqrt{57}}^{3}$ comme $\sqrt{57^{3}}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{57^{3}}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.8

Élevez $57$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{185193}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.9

Réécrivez $185193$ comme $57^{2} \cdot 57$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.15.9.1

Factorisez $3249$ à partir de $185193$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{3249 (57)}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.9.2

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + \sqrt{57^{2} \cdot 57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.15.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{9261 + 1323 \sqrt{57} + 3591 + 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.16

Additionnez $9261$ et $3591$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 + 1323 \sqrt{57} + 57 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.17

Additionnez $1323 \sqrt{57}$ et $57 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{12852 + 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.18

Annulez le facteur commun à $12852 + 1380 \sqrt{57}$ et $512$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.18.1

Factorisez $4$ à partir de $12852$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) + 1380 \sqrt{57}}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.18.2

Factorisez $4$ à partir de $1380 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213) + 4 (345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.18.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (3213) + 4 (345 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 + 345 \sqrt{57})}{512}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.18.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.18.4.1

Factorisez $4$ à partir de $512$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 + 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{4 (3213 + 345 \sqrt{57})}{4 \cdot 128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} - 7 (- \frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.19

Multipliez $- 7 (- \frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.19.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + 7 (\frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128}) - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.19.2

Associez $7$ et $\frac{3213 + 345 \sqrt{57}}{128}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 {(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2}$

Étape 19.2.1.20

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.20.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21 + \sqrt{57}}{8})}^{2})$

Étape 19.2.1.20.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{21 + \sqrt{57}}{8}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

Étape 19.2.1.21

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 (1 (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}))$

Étape 19.2.1.22

Multipliez $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{8^{2}}$

Étape 19.2.1.23

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 12 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64}$

Étape 19.2.1.24

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.24.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{64})$

Étape 19.2.1.24.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

Étape 19.2.1.24.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{4 \cdot 16})$

Étape 19.2.1.24.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - 3 \frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$

Étape 19.2.1.25

Associez $- 3$ et $\frac{{(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 {(21 + \sqrt{57})}^{2}}{16}$

Étape 19.2.1.26

Réécrivez ${(21 + \sqrt{57})}^{2}$ comme $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 ((21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57}))}{16}$

Étape 19.2.1.27

Développez $(21 + \sqrt{57}) (21 + \sqrt{57})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.27.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 (21 + \sqrt{57}) + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16}$

Étape 19.2.1.27.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} (21 + \sqrt{57}))}{16}$

Étape 19.2.1.27.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (21 \cdot 21 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

Étape 19.2.1.28

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.28.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.28.1.1

Multipliez $21$ par $21$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57} \cdot 21 + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

Étape 19.2.1.28.1.2

Déplacez $21$ à gauche de $\sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \cdot \sqrt{57} + \sqrt{57} \sqrt{57})}{16}$

Étape 19.2.1.28.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57 \cdot 57})}{16}$

Étape 19.2.1.28.1.4

Multipliez $57$ par $57$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{3249})}{16}$

Étape 19.2.1.28.1.5

Réécrivez $3249$ comme $57^{2}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + \sqrt{57^{2}})}{16}$

Étape 19.2.1.28.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (441 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57} + 57)}{16}$

Étape 19.2.1.28.2

Additionnez $441$ et $57$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 + 21 \sqrt{57} + 21 \sqrt{57})}{16}$

Étape 19.2.1.28.3

Additionnez $21 \sqrt{57}$ et $21 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (498 + 42 \sqrt{57})}{16}$

Étape 19.2.1.29

Annulez le facteur commun à $498 + 42 \sqrt{57}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.29.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3 (498 + 42 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{16}$

Étape 19.2.1.29.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.29.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 (8)}$

Étape 19.2.1.29.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{2 (- 3 (249 + 21 \sqrt{57}))}{2 \cdot 8}$

Étape 19.2.1.29.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} + \frac{- 3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 19.2.1.30

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 19.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Multipliez $\frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $\frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57})}{128}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$

Étape 19.2.2.3

Multipliez $\frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8} \cdot \frac{64}{64})$

Étape 19.2.2.4

Multipliez $\frac{3 (249 + 21 \sqrt{57})}{8}$ par $\frac{64}{64}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

Étape 19.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 4$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

Étape 19.2.2.6

Multipliez $4$ par $128$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{8 \cdot 64}$

Étape 19.2.2.7

Multipliez $8$ par $64$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{43569 + 5229 \sqrt{57}}{512} + \frac{7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- (43569 + 5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 43569 - (5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $43569$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - (5229 \sqrt{57}) + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.3

Multipliez $5229$ par $- 1$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 7 (3213 + 345 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + (7 \cdot 3213 + 7 (345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.5

Multipliez $7$ par $3213$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + (22491 + 7 (345 \sqrt{57})) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.6

Multipliez $345$ par $7$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + (22491 + 2415 \sqrt{57}) \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 22491 \cdot 4 + 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.8

Multipliez $22491$ par $4$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 2415 \sqrt{57} \cdot 4 - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.9

Multipliez $4$ par $2415$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 3 (249 + 21 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} + (- 3 \cdot 249 - 3 (21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.11

Multipliez $- 3$ par $249$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} + (- 747 - 3 (21 \sqrt{57})) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.12

Multipliez $21$ par $- 3$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} + (- 747 - 63 \sqrt{57}) \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 747 \cdot 64 - 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.14

Multipliez $- 747$ par $64$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 47808 - 63 \sqrt{57} \cdot 64}{512}$

Étape 19.2.4.15

Multipliez $64$ par $- 63$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 43569 - 5229 \sqrt{57} + 89964 + 9660 \sqrt{57} - 47808 - 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 19.2.5

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.5.1

Additionnez $- 43569$ et $89964$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{46395 - 5229 \sqrt{57} + 9660 \sqrt{57} - 47808 - 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 19.2.5.2

Soustrayez $47808$ de $46395$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 - 5229 \sqrt{57} + 9660 \sqrt{57} - 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 19.2.5.3

Additionnez $- 5229 \sqrt{57}$ et $9660 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 + 4431 \sqrt{57} - 4032 \sqrt{57}}{512}$

Étape 19.2.5.4

Soustrayez $4032 \sqrt{57}$ de $4431 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 19.2.5.5

Réécrivez $- 1413$ comme $- 1 (1413)$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 + 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 19.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $399 \sqrt{57}$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1413 - (- 399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 19.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1413) - (- 399 \sqrt{57})$ .

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = \frac{- 1 (1413 - 399 \sqrt{57})}{512}$

Étape 19.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}) = - \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $- \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$ .

$y = - \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(- \frac{21 - \sqrt{57}}{8}, - \frac{1413 + 399 \sqrt{57}}{512})$ est un minimum local

$(- \frac{21 + \sqrt{57}}{8}, - \frac{1413 - 399 \sqrt{57}}{512})$ est un maximum local

Étape 21