Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 6 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 6 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ est positif.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $36$ à partir de $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $36$ à partir de $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $36 \cos^{2} (t)$ comme ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $6 \cos (t)$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Évaluez $- \cos (t)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Étape 5.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Étape 5.3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Forme décimale :

$0.80384757 \dots$