Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{20} x^{6} + \frac{1}{4} x^{- 3} + \frac{1}{2} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{4} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{- 5}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{20} x^{6}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{20} x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{1}{20} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3.3

Associez $6$ et $\frac{1}{20}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6}{20} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3.4

Associez $\frac{6}{20}$ et $x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{6 x^{5}}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $20$ .

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x^{5}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{20} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{2 (3 x^{5})}{2 \cdot 10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.4.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.4.4

Associez $\frac{- 3}{4}$ et $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.4.5

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} + \frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Étape 1.5.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3}{2} x^{2}$

Étape 1.5.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Étape 1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x^{5}}{10} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5}}{10}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{3}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{5}}{10}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.3

Associez $5$ et $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.5

Associez $\frac{15}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.6

Annulez le facteur commun à $15$ et $10$ .

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{4}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{5}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 x^{4}}{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 4 (\frac{5}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.4

Associez $- 4$ et $\frac{5}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.6

Associez $\frac{- 20}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.7

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $4$ .

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Étape 2.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 20 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 (- 5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{- 5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.3.7.2.4

Divisez $- 5 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.3

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.5

Associez $\frac{6}{2}$ et $x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.4.6.2.4

Divisez $3 x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 2.5.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 2.5.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 2.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 2.5.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.5.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

Étape 2.5.9

Associez $4$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

Étape 2.5.10

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4} x^{- 5}$

Étape 2.5.11

Associez $\frac{12}{4}$ et $x^{- 5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

Étape 2.5.12

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{12}{4 x^{5}}$

Étape 2.5.13

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 2.5.13.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Étape 2.5.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{5}$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

Étape 2.5.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Étape 2.5.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{2} - 5 x^{3} + 3 x + \frac{3}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x^{4}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.3

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{12}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.2.6.2.4

Divisez $6 x^{3}$ par $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 x^{3} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.4.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{5}}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{5}$ .

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Étape 3.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{5}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.5.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Étape 3.5.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Étape 3.5.7

Multipliez $x^{- 10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.7.1

Déplacez $x^{4}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Étape 3.5.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{4 - 10})$

Étape 3.5.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + 3 (- 5 x^{- 6})$

Étape 3.5.8

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 x^{- 6}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - 15 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 3.6.2

Associez des termes.

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Étape 3.6.2.1

Associez $- 15$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 + \frac{- 15}{x^{6}}$

Étape 3.6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 x^{3} - 15 x^{2} + 3 - \frac{15}{x^{6}}$

Étape 3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$

Étape 4

La dérivée troisième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$ .

$6 x^{3} - 15 x^{2} - \frac{15}{x^{6}} + 3$